Question

如图所示，在四面体中，，，两两互相垂直，且．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的大小；

（3）若直线与平面所成的角为，求线段的长度．

Answer

（1）见解析   （2）二面角的大小为．   （3）．

【解析】本试题主要是考查了立体几何中面面垂直的证明，以及二面角的求解，和线面角的求解的综合，同时考查了同同学们的空间想象的能力和逻辑推理能力和计算能力的运用。灵活运用定理和性质来解决问题的运用。

（1）对于面面垂直的判定，一般通过线面垂直的判定定理得到。关键是判定CD垂直于平面ABC

（2）利用三垂线定理作出二面角，然后利用直角三角形来求解得到角的运算

（3）利用线面垂直，找到斜线BD与平面ACD的所成的线面角是解决该试题的关键

（1）∵ ，，∴ 平面．又平面，

∴ 平面平面．          …… …… …… 4分

（2）∵ ，，∴ 平面．∴ ．

∴ 是二面角的平面角．   …… …… 6分

在中，∵ ，∴ ．∴ 二面角的大小为．

（3）过点作，垂足为，连接．∵ 平面平面，   ∴ 平面，∴ 为与平面所成的角．∴ ．  

在中，，∴ ．又∵在中，，∴ ，∴ 在中，．