Question

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；，是过点且相互垂直的两条直线，交椭圆E于，两点，交椭圆E于，两点，，的中点分别为，．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）求直线的斜率的取值范围；

（3）求证直线与直线的斜率乘积为定值．

Answer

（1）．  （2）．  （3）

【解析】本试题主要是考出了椭圆方程的求解，已知直线与椭圆的位置关系的运用，求解直线的斜率问题，韦达定理的运用，以及判别式的综合运用。

（1）结合椭圆的性质，得到关于a,b,c的关系式，进而得到结论。

（2）设出直线方程，直线与椭圆的方程联立，得到关于未知数的一元二次方程，然后借助于韦达定理和判别式得到k的取值范围。

（3）利用两点式得到直线的斜率，借助于韦达定理求证其积为定值。

（1）设椭圆E的方程为，

由得所以所求椭圆E的标准方程为．  …… 4分

（2）由题意知，直线的斜率存在且不为零，由于，则，

由消去并化简整理，得，  …… …… 6分

根据题意，，解得 ，同理可得，即，

∴有，解得．     …… 8分

（3）设，，，那么，

则 ，，即， 10分

同理可得，即，

∴ ，即直线与直线的斜率乘积为定值