Question

已知函数在与时，都取得极值。

（1）求的值；

（2）若，求的单调区间和极值；

（3）若对都有恒成立，求的取值范围。

Answer

【解析】
（1）f ′(x)＝3x2＋2a x＋b＝0．

由题设，x＝1，x＝－为f ′(x)＝0的解．

－a＝1－，＝1×(－)．∴a＝－，b＝－2……………………………………4分

经检验得：这时与都是极值点．…………………………………5分

（2）f (x)＝x3－x2－2 x＋c，由f (－1)＝－1－＋2＋c＝，c＝1．

∴f (x)＝x3－x2－2 x＋1．

∴  f (x)的递增区间为（－∞，－），及（1，＋∞），递减区间为（－，1）．

当x＝－时，f (x)有极大值，f (－)＝；

当x＝1时，f (x)有极小值，f (1)＝－……………………………………………10分

（3）由（1）得，f ′(x)＝(x－1)(3x＋2)，f (x)＝x3－x2－2 x＋c，

f (x)在[－1，－及（1，2]上递增，在（－，1）递减．

而f (－)＝－－＋＋c＝c＋．f (2)＝8－2－4＋c＝c＋2．

∴  f (x)在[－1，2]上的最大值为c＋2．∴  ，∴ 

∴   或∴  或…………………16分

【解析】略