Question

如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】试题（1）由平行四边形的对角线互相平分得到△AOB的两条边OA、OB的长度，则根据勾股定理的逆定理判定∠AOB=90°，即平行四边形的对角线互相垂直平分，故四边形ABCD是菱形．

（2）根据菱形的不变性，用不同方法求面积：平行四边形的面积=菱形的面积，可求解.

试题解析：（1）证明：∵在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8，

∴AO=AC=3，BO=BD=4，

∵AB=5，且32+42=52，

∴AO2+BO2=AB2，

∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，

∴AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）【解析】
如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴BC=AB=5，

∵S△ABC=AC•BO=BC•AH，

∴×6×4=×5×AH，

解得：AH=．