Question

如图，点A（－10，0），B（－6，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB，∠CDA＝90°．点P从点Q（8，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒．

（1）求点C的坐标．

（2）当∠BCP＝15°时，求t的值．

（3）以PC为直径作圆，当该圆与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer

（1）C（0,6）；（2）8+2或8+6；（3）2或8或17．1

【解析】

试题分析：（1）根据∠BOC＝90°，∠CBO＝45°得出∠BCO＝∠CBO＝45°，从而得出点C的坐标；（2）根据当点P在点B右侧和当点P在点B左侧两种情况分别进行计算，得出答案；（3）根据圆与BC相切、圆与CD相切和圆与AD相切三种情况分别进行计算，得出答案．

试题解析：（1）∵∠BOC＝90°，∠CBO＝45°，∴∠BCO＝∠CBO＝45°，

∵B（－6，0），∴OC＝OB＝6，∴C（0，6）；

（2）①当点P在点B右侧时，∵∠BCO＝45°，∠BCP＝15°，∴∠POC＝30°，

∴OP＝2 ∴t1＝8＋2

②当点P在点B左侧时，∵∠BCO＝45°，∠BCP＝15°，∴∠POC＝60°，

∴OP＝6 ∴t2＝8＋6

综上所述：t的值为8＋2或8＋6．

（3）由题意知，若该圆与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：

①当该圆与BC相切于点C时，有∠BCP＝90°， 从而∠OCP＝45°，得到OP＝6，此时PQ＝2，∴t＝2；

②当该圆与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合， 此时PQ＝8，∴t＝8；

③当该圆与AD相切时，设P（8－t，0），设圆心为M，则M（，3），半径r＝

作MH⊥AD于点H，则MH＝－（－10）＝14－，

当MH2＝r2时，得（14－）2＝（）2＋32，解得t＝17．1

∴t的值为2或8或17．1．

考点：（1）分类讨论思想；（2）圆与直线相切位置关系．