Question

在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，线段DE与线段AB相交于点E. 线段DF与线段AC相交于点F.

（1）如图一，若DF⊥AC，请直接写出DE与AB的位置关系；

（2）请判断DE与DF的数量关系.并写出推理过程.

（3）如图二，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F. （2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程，若不成立，说明理由.

（4）在∠EDF绕点D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系。

Answer

（1）DE⊥AB；（2）DE=DF 证明见解析；（3）成立.证明见解析；（4）BE+CF=

【解析】试题分析：（1）DE⊥AB，根据四边形的内角和定理即可求得∠AED=90°，所以DE⊥AB；（2）方法①可以通过AAS证明△BED≌△CFD，得出结论；方法 ②也可以连接AD通过等腰三角形三线合一得出AD平分∠BAC，利用角平分线性质定理得出；（3）成立，证明：方法①可以恢复到图一，在图一的基础上证明全等得出结论；方法②也可以取AB中点M，连接DM证明△EDM≌△FDC即可；（4）取AB中点M，连接DM证明△EDM≌△FDC即可得结论.

试题解析：

（1）DE⊥AB

（2）DE=DF 证明：①可以通过AAS证明△BED≌△CFD，得出结论

②也可以连接AD通过等腰三角形三线合一得出AD平分∠BAC，利用角平分线性质定理得出.

成立.证明①可以恢复到图一，在图一的基础上证明全等得出结论.

②也可以取AB中点M，连接DM证明△EDM≌△FDC即可.

（4）BE+CF=