Question

如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连结AE．

证明：（1）BF=DF．

（2）AE//BD．

（3）若AB=6，BC=8，求AF的长,并求△FBD的周长和面积。

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AF=周长为22.5；面积为： .

【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质和折叠的性质可证得∠DBC=∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得BF=DF；（2）先证AF=EF，即可得∠AEF=∠EAF，再证∠AEF=∠FBD，即可判定AE//BD；（3）设AF=x，则DF=BF=8-x，在RtΔABF中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求得x的值；在RtΔBDC中，根据勾股定理得BD的长，即可求得△FBD的周长和面积.

试题解析：

（1）矩形ABCD得出AD//BC，∴∠ADB=∠FDB根据对折得，∠FDB=∠DBC

∴∠DBC=∠ADB ∴BF=DF（等边对等角）

（2）∵AD=BC=BE，BF=DF

∴AD-DF=BE-BF 即AF=EF

∴∠AEF=∠EAF

又∵∠AEF+∠EAF=∠ADB+∠FBD

∴∠AEF=∠FBD

∴AE//BD

（3）设AF=x，则DF=BF=8-x

在RtΔABF中，AF2+AB2=BF2 即62+x2=（8-x）2 解得x=.

在RtΔBDC中，根据勾股定理得：BD=10，

所以，三角形FBD的周长为10+2FD=10+=22.5

三角形FBD的面积为S=×6×=