Question

如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．

（1）求抛物线的解析式；

（2）①当P点运动到A点处时，通过计算发现：PO　　PH（填“＞”、“＜”或“=”）；

②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有何数量关系，并证明你的猜想；

（3）当△PHO为等边三角形时，求点P坐标；

（4）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P、O、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线解析式为y=﹣x2+1，（2）=；PO=PH．证明见解析；（3）P（2，﹣2）、（﹣2，﹣2）．（4）点P坐标（1， ）或（﹣1， ）．

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）①求出PO、PH即可解决问题．②结论：PO=PH．设点P坐标（m，-m2+1），利用两点之间距离公式求出PH、PO即可解决问题．（3）首先判断PH与BC，PO与AC是对应边，设点P（m，-m2+1），由=，列出方程即可解决问题．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），

∴﹣3=16a+1，

∴a=﹣，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+1，顶点B（0，1）．

（2）①当P点运动到A点处时．

∵PO=5，PH=5，

∴PO=PH．

故答案为：=．

②结论：PO=PH．理由：设点P坐标（m，﹣ m2+1），

∵PH=2﹣（﹣m2+1）=m2+1，PO=，

∴PO=PH．

（3）∵△PHO为等边三角，

∴OP=OH．

由两点间的距离公式可知：OH=．

∴m2+1=，解得：m=±2，

∴P（2，﹣2）、（﹣2，﹣2）．

（4）∵BC==，AC==，AB==4．

∴BC=AC，

∵PO=PH，以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，

∴PH与BC，PO与AC是对应边，

∴=，设点P（m，﹣m2+1），

∴，解得m=±1．

∴点P坐标（1， ）或（﹣1， ）．

点睛：本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住两点之间的距离公式，学会转化的思想，从方程的角度去解决问题，属于中考压轴题的范畴.