Question

已知四边形ABCD内接于⊙O，∠D=90°，P为上一动点（不与点C，D重合）．

（1）若∠BPC=30°，BC=3，求⊙O的半径；

（2）若∠A=90°，，求证：PB﹣PD=PC．

Answer

（1）3；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）连接AC，得到AC是 O的直径，解直角三角形即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质得到四边形ABCD为矩形．推出矩形ABCD为正方形，根据全等三角形的性质得到PC=CE，得到△CPE为等腰直角三角形，即可得到结论．

试题解析：

（1）连接AC，

∵∠D=90°，

∴AC是⊙O的直径，

∵∠BAC=∠P=30°，

∴AC=2BC=6，

所以圆O的半径为3；

（2）

∵∠A=90°，

∴∠C=90°，

∵AC为圆O直径，

∴∠D=∠B=90°，

∴四边形ABCD为矩形．

∵，

∴AB=AD，

∴矩形ABCD为正方形，

在BP上截取BE=DP，

∴△BCE≌△DPC，

∴PC=CE，

∴△CPE为等腰直角三角形，

∴PE=PC，

∴PB=PD+PC．