Question

已知：关于的一元二次方程．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为， （其中）．若是关于t的函数，且，求这个函数的解析式,并画出函数图象；

（3）观察（2）中的函数图象，当时，写出自变量的取值范围.

Answer

（1）证明见解析；（2），画图见解析；（3）当时，

【解析】(1)要证明方程有两个不相等的实数根，应从根的判别式入手，只要能够说明根的判别式 即可，这里用到了配方、非负数的性质及题目中的附加条件m>0.

(2)要求函数的解析式，需要先求出 与 的值，由于，所以方程的根一定是有理数，因此用求根公式可求出方程的根，再代入中即可.

本题解析：（1）证明： 是关于的一元二次方程，

．

当时， ，即．

方程有两个不相等的实数根．

（2）【解析】
由求根公式，得．

或．

，

．

，

， ．

．

即为所求．

在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图．

（3）由图象可得，当时， ．

点睛：本题是一道代数综合题，综合了一元二次方程、一次函数、用函数的观点看不等式等知识．熟练运用方程判别式还有求根公式可以方便解题，最后运用图像结合问题求出答案。