Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AE是高，AF是△ABC外角∠CAD的平分线.

（1）用尺规作图：作∠AEC的平分线EN（保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）设EN与AF交于点M，判断△AEM的形状，并说明理由.

Answer

（1）作图见解析；（2）△AEM是等腰直角三角形，理由见解析

【解析】分析：(1)以E为圆心，以任意长为半径画弧，交AE于G，交EC于H，分别以G、H为圆心，以大于 GH为半径画弧，两弧交于N，作射线EN，交AM于F．

(2)求出∠BAE=∠CAE，求出∠FAE= ×180°=90°，求出∠CEM=∠AME=∠AEM，推出AE=AM，即可得出答案．

解:（1）作射线EN（如图）.

（2）△AEM是等腰直角三角形.

在△ABC中，∵AB=AC，AE是高，

∴AE平分∠BAC.

又AM平分∠CAE,

∴AE⊥AM.

∵AE是高，∠AEC=,EN平分∠AEC,∴∠AEM＝45°.

∴∠AME＝45°. ∴AE＝AM.

即△AEM是等腰直角三角形.

点睛：本题主要的就是考查了作图基本作图，等腰三角形的性质和判定的应用，主要是培养学生的动手操作能力和推理能力，题目比较典型，难度也适中