Question

如图，抛物线y=﹣x²+3x+4交x轴于A、B两点（点A在B左边），交y轴于点C．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求直线BC的函数关系式；

（3）点P在抛物线的对称轴上，连接PB，PC，若△PBC的面积为4，求点P的坐标．

Answer

（1）A、B两点坐标为（﹣1，0）和（4，0）；（2）直线BC的函数关系式为y=﹣x+4；（3）点P的坐标为（，）或（，）．

【解析】

试题分析：（1）令y=0得﹣x2+3x+4=0解得方程的解即为A、B两点坐标；（2）令x=0，解得抛物线y=﹣x2+3x+4与y轴交点C的坐标，设直线BC的函数关系式y=kx+b，解得k和b的值即可得出直线BC的函数关系式； （3）求得抛物线y=﹣x2+3x+4的对称轴，设对称轴与直线BC的交点记为D，求得D点坐标，设点P的坐标，表示出PD，再根据三角形的面积公式得出点P的坐标．

试题解析：

（1）由﹣x2+3x+4=0解得x=﹣1或x=4，

所以A、B两点坐标为（﹣1，0）和（4，0）；

（2）抛物线y=﹣x2+3x+4与y轴交点C坐标为（0，4），由（1）得，B（4，0），

设直线BC的函数关系式y=kx+b，

∴ ，

解得，

∴直线BC的函数关系式为y=﹣x+4；

（3）抛物线y=﹣x2+3x+4的对称轴为x= ，

对称轴与直线BC的交点记为D，则D点坐标为（，）．

∵点P在抛物线的对称轴上，

∴设点P的坐标为（，m），

∴PD=|m﹣|，

∴S△PBC=OB•PD=4．

∴×4×|m﹣|=4，

∴m=或m=．

∴点P的坐标为（，）或（，）．

考点：抛物线与x轴的交点；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质．