Question

如图，顶点为D的抛物线y=x²+bx-3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，连接BC，已知△BOC是等腰三角形．
（1）求点B的坐标及抛物线y=x²+bx-3的解析式；
（2）求四边形ACDB的面积；
（3）若点E（x，y）是y轴右侧的抛物线上不同于点B的任意一点，设以A，B，C，E为顶点的四边形的面积为S．
①求S与x之间的函数关系式．
②若以A，B，C，E为顶点的四边形与四边形ACDB的面积相等，求点E的坐标．

Answer

（1）根据题意△OBC为等腰三角形，∠BOC=90°，所以OC=OB，由图象得点C的坐标为（0，-3），所以可得点B的坐标为（3，0），将点B的坐标代入函数解析式即可求得；
（2）过点D作X轴的垂线，分割成两个直角三角形和一个直角梯形来求即可；
（3）①由点E（x，y）是y轴右侧的抛物线上不同于点B的任意一点，可得当E在第一象限时，四边形ABCE的面积=S△ABC+S△AEB；当E在第四象限，四边形ABCE的面积=S△AOC+S△OCE+S△BOE，分别得出S与x之间的函数关系式及取值范围；
②根据所得解析式，列方程即可求得．
【解析】
（1）B（3，0），
∴9+3b-3=0
∴b=-2
∴y=x2-2x-3

（2）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4
∴点D的坐标为（1，-4），对称轴为x=1
∴点A的坐标为（-1，0）
过点D作X轴的垂线，垂足为F
∴S△AOC=，S△BDF=2×4÷2=4，S梯形OCDF=（3+4）×1÷2=3.5
∴四边形ACDB的面积为1.5+4+3.5=9．

（3）①当E在第四象限，S=-x2+x+6（0＜x＜3），
当E在第一象限，S=2x2-4x（x＞3）．
②存在．
当E在第四象限，S=-x2+x+6=9，
解得：x1=1，x2=2，
∴点E的坐标为（1，-4）或（2，-3）；
当E在第一象限，S=2x2-4x=9，
解得：x1=1-（舍去），x2=1+，
∴点E的坐标为；
∴点E的坐标为（1，-4）或（2，-3）或．