Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）用直尺和圆规作出∠CBA的平分线BE，交直角边AC于E；（保留作图痕迹）
（2）沿BE折叠这个三角形，使点C与AB边上的一点D重合．当∠A满足什么条件时，点D恰好为AB的中点？利用此条件证明D为AB的中点．

Answer

（1）①以点B为圆心，任意长为半径画弧，与AB、BC交于M、N两点，②分别以M、N为圆心，以大于MN的长画弧，两弧交于P点，③连接BP交AC与E点；
（2）点D为AB的中点，即DE垂直平分AB，则∠A=∠EBA，由折叠可知∠EBA=∠EBC，而∠A+∠EBA+∠EBC=90°，从而可求∠A．
【解析】
（1）如图所示．

（2）①由折叠可知，∠EBA=∠EBC，
当D为AB的中点时，DE垂直平分AB，
根据垂直平分线的性质可知，∠A=∠EBA，
在Rt△ABC中，∠A+∠CBA=90°，
即∠A+∠EBA+∠EBC=90°，即∠A=30°，
所以，当∠A=30°时，点D恰好为AB的中点．