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如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F分别是OA、OB的中点. ...

如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F分别是OA、OB的中点.
(1)求证:△ADE≌△BCF;
(2)若AD=4cm,AB=8cm,求CF的长.

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(1)根据矩形的对边相等、对角线相等且相互平分等性质可证△ADE≌△BCF; (2)要求CF的长,若CF在一直角三角形中,则可用勾股定理求解.由此需要添加辅助线,过点F作FG⊥CD于点G,则△DFG∽△DBC;由(1)的结论可得DF=3FB,则可算出FG、DG的值,进而求得CF的长. (1)证明:∵四边形ABCD为矩形 ∴AD=BC,OA=OC,OB=OD,AC=BD,AD∥BC ∴OA=OB=OC,∠DAE=∠OCB(两直线平行,内错角相等) ∴∠OCB=∠OBC ∴∠DAE=∠CBF 又∵AE=OA,BF=OB ∴AE=BF ∴△ADE≌△BCF; (2)【解析】 过点F作FG⊥CD于点G, ∴∠DGF=90° ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠DCB=90° ∴∠DGF=∠DCB 又∵∠FDG=∠BDC ∴△DFG∽△DBC ∴ 由(1)可知F为OB的中点, 所以DF=3FB,得 ∴ ∴FG=3,DG=6 ∴GC=DC-DG=8-6=2 在Rt△FGC中,cm. (说明:其他解法可参照给分,如延长CF交AB于点H,利用△DFC∽△BFH计算.)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
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