Question

若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为    ．

Answer

分两种情况进行分析，①当BF如图位置时，②当BF为BG位置时；根据相似三角形的性质即可求得BM的长．
【解析】
如图，当BF如图位置时，
∵AB=AB，∠BAF=∠ABE=90°，AE=BF，
∴△ABE≌△BAF（HL），
∴∠ABM=∠BAM，
∴AM=BM，AF=BE=3，
∵AB=4，BE=3，
∴AE===5，
过点M作MS⊥AB，由等腰三角形的性质知，点S是AB的中点，BS=2，SM是△ABF的中位线，
∴SM=BE=×3=，
∴BM=AE=×5=，
当BF为BG位置时，易得Rt△BCG≌Rt△ABE，
∴BG=AE=5，∠AEB=∠BGC，
∴△BHE∽△BCG，
∴BH：BC=BE：BG，
∴BH=．