Question

如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，坐标为（a，b），直线l的解析式为y=2x-4．
（1）画出点P以点O为旋转中心逆时针旋转90°后的对应点P′；
（2）猜想点P′的坐标，并证明你的结论；
（3）求出直线l绕点O逆时针旋转90°后的直线l′的解析式．

Answer

（1）由于以点O为旋转中心逆时针旋转90°，所以对应点P′应该在第二象限，因此可以确定位置并画出图象；
（2）P′（-b，a）．根据旋转可以知道OP=OP′，又旋转90°，因此可以证明Rt△AOP≌Rt△A′OP′，再利用全等三角形的性质就可以得到P′的坐标；
（3）首先确定直线l与坐标轴的交点坐标，然后利用（2）的结论即可确定旋转后它们的坐标，再利用待定系数法即可确定函数解析式．
【解析】
（1）如图所示；

（2）P′（-b，a）．
证明：过P点分别x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，
过P′点分别x轴、y轴的垂线，垂足分别为B′、A′，
∵∠POP′=90°，
∴∠AOP=∠A′OP′，
又∵OP=OP′，
∴Rt△AOP≌Rt△A′OP′，
∴OA=OA′，AP=A′P′，
∴OA′=OA=a，OB′=P′A′=PA=OB=b，
又∵P′在第二象限，
∴P′的坐标为（-b，a）；

（3）由图象知直线l与x轴交点为M（2，0），与y轴交点为N（0，-4）．
由（2）得：点M（2，0）、N（0，-4）绕O点逆时针旋转90°得到的对应点分别是M′（0，2）、N′（4，0），
∴直线M′N′就是直线l绕O点逆时针旋转90°得到的对应直线，
解得直线l′的解析式为y=-x+2．