Question

对于二次函数y=x²-2mx-3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②若当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；
③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；
④若当x=4时的函数值与x=2时的函数值相等，则当x=6时的函数值为-3．
其中正确的说法是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

Answer

根据△=4m2-4×（-3）=4m2+12＞0，根据△的意义对①进行判断；由a=1＞0得抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=-=m，由于当x≤1时y随x的增大而减小，则直线x=1在直线x=m的左侧，于是可对②进行判断；配方得到y=（x-m）2-m2-3，则抛物线向左平移3个单位的解析式为y=（x-m+3）2-m2-3，把原点坐标代入计算出m的值，则可对③进行判断；根据抛物线的对称性由当x=4时的函数值与x=2时的函数值相等得到抛物线的对称轴为直线x=3，则m=3，所以抛物线解析式为y=x2-6x-3，然后计算x=6时的函数值，则可对④进行判断．
【解析】
∵△=4m2-4×（-3）=4m2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个公共点，所以①正确；
∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=-=m，当在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，而当x≤1时y随x的增大而减小，∴m≥1，所以②错误；
∵y=（x-m）2-m2-3，∴抛物线向左平移3个单位的解析式为y=（x-m+3）2-m2-3，把（0，O）代入得（m-3）2-m2-3=0，解得m=1，所以③错误；
∵当x=4时的函数值与x=2时的函数值相等，∴抛物线的对称轴为直线x=3，则x=m=3，∴抛物线解析式为y=x2-6x-3，当x=6时的函数值为-3，所以④正确．
故选B．