Question

如图①，若点P是△ABC内或边上一点，且∠BPC=2∠A，则称点P是△ABC内∠A的二倍角点．
（1）如图②，点O等边△ABC的外心，连接OB、OC．
①求证：点O是△ABC内∠A的一个二倍角点；
②作△BOC的外接圆，求证：弧BOC上任意一点（B、C除外）都是△ABC内∠A的二倍角点．
（2）如图③，在△ABC的边AB上求作一点M，使点M是△ABC内∠A的一个二倍角点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，并写出作法）．
（3）在任意三角形形内，是否存在一点P同时为该三角形内三个内角的二倍角点？请直接写出结论，不必说明理由．

Answer

（1）①由点O等边△ABC的外心，连接OB、OC，根据三角形外心的性质与圆周角定理，即可得∠BOC=2∠A，且点O在△ABC内，即可证得点O是△ABC内∠A的一个二倍角点；
②由圆周角定理可得∠BO′C=∠BOC，且点O′是△ABC的内一点，即可证得弧BOC上任意一点（B、C除外）都是△ABC内∠A的二倍角点．
（2）作AC的垂直平分线交AB于点M，连接MC，可得AM=CM，即可得∠ACM=∠A，则∠BMC=∠A+∠ACM=2∠A，可得M是△ABC内∠A的一个二倍角点；
（3）分别从锐角三角形、直角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
【解析】
（1）①∵点O等边△ABC的外心，
∴∠BOC=2∠A，
又∵点O在△ABC内，
∴点O是△ABC内∠A的一个二倍角点．…（2分）

②设O′弧BOC上任意一点，
则∠BO′C=∠BOC，
∵∠BOC=2∠A，
∴∠BO′C=2∠A，
又∵点O′是△ABC的内一点，
∴点O′是△ABC内∠A的二倍角点．…（4分）

（2）如右图，作AC的垂直平分线交AB于点M，连接MC，
则点M为所求作的点．…（6分）

（3）ⅰ）当三角形为锐角或直角三角形时，三角形外接圆的圆心即为该三角形内三个内角的二倍角点；    …（8分）
ⅱ）当三角形为钝角三角形时，不存在一点同时为该三角形内三个内角的二倍角点．…（10分）