Question

已知二次函数y=x²-mx+m-2．
（1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若该二次函数的图象过点（-1，3）．
①求该二次函数的关系式，并写出它的顶点坐标；
②在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
③直接写出，当y＜0时x的取值范围．

Answer

（1）令x2-mx+m-2=0，根据该一元二次方程的根的判别式△=m2-4（m-2）的符号来证明二次函数y=x2-mx+m-2的图象与x轴都有两个交点；
（2）①把点（-1，3）代入二次函数解析式y=x2-mx+m-2列出关于m的方程，通过解方程即可求得m的值；然后利用配方法将所求的二次函数解析式转化为顶点式解析式；
②根据抛物线与坐标轴的交点、顶点坐标，在平面直角坐标系中画出图形；
③根据图象直接写出x的取值范围．
（1）证明：∵△=m2-4（m-2）=m2-4m+4+4=（m-2）2+4≥4＞0，
∴x2-mx+m-2=0一定有两个不等的实数解，
∴无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；

（2）【解析】
①把x=-1，y=3，代入y=x2-mx+m-2，解得m=2，
则二次函数的关系式为y=x2-2x．
配方得y=（x-1）2-1，所以，顶点坐标为（1，-1）．  
②根据抛物线解析式y=x2-2x=x2-2x知，该图象与坐标轴轴的交点是（0，0），（0，2），顶点坐标是（1，-1）．所以其图象如图所示：
；

③根据②中的图象知，当y＜0时，x的取值范围为：0＜x＜2．