Question

如图，已知Rt△ABC，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，点P从A点出发，以1cm/秒的速度沿AB向B点匀速运动，点Q从A点出发，以x cm/秒的速度沿AC向C点匀速运动，且P、Q两点同时从A点出发，设运动时间为t 秒（），连接PQ．解答下列问题：
（1）当P点运动到AB的中点时，若恰好PQ∥BC，求此时x的值；
（2）求当x为何值时，△ABC∽△APQ；
（3）当△ABC∽△APQ时，将△APQ沿PQ翻折，A点落在A′，设△A′PQ与△ABC重叠部分的面积为S，写出S关于t的函数解析式及定义域．

Answer

（1）PQ∥BC，P是AB的中点，则Q一定是AC的中点，求得AQ的长，则速度x即可求得；
（2）△ABC∽△APQ，则一定有PQ∥BC，即与（1）相同，即可求得x的值；
（3）分0＜t≤4和4＜t＜8两种情况进行讨论，当0＜t≤4时重合部分就是△A′PQ；当4＜t＜8时，重合部分是直角梯形，根据梯形的面积公式即可求解．
【解析】
（1）设AP=t  AQ=xt （0≤t≤8）∵AB=8  AP=AB=4  即t=4  
∵Rt△ABC，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm
∴AC=10 cm 
∵PQ∥BC
∴
即
解得：

（2）①若∠APQ=∠ABC，则BC∥PQ，此时与（1）相同，x=；
 若∠APQ=∠C，则=，即=，
解得；x=．
综上可得当x=或时，△ABC∽△APQ．

（3）∵BC∥PQ，
∴=，
∴PQ===t，
则当0＜t≤4时，重叠部分的面积为S=S△A′PQ=S△APQ=AP•PQ=t•t=t2；
当4＜t≤8时，如图1所示，则A′P=AP=t，PQ=t，
∴BP=AB-AP=8-t，
则A′P=t-（8-t）=2t-8，
∵BD∥PQ，
∴=
∴BD==（t-4），
∴S=S四边形BDQP=（BD+PQ）•BP=[（t-4）+t]•（8-t）=（t-4）2．
 则函数解析式是：．