Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=3，BC=7，∠B=45°，P在BC边上，E在CD边上，∠B=∠APE．
（1）求等腰梯形的高；
（2）求证：△ABP∽△PCE．

Answer

（1）作AF⊥BC于F，作DG⊥BC于G，首先证明△ABF≌△DCG，得到BF=CG，再证明AFGD是平行四边形，根据平行四边形的性质求出等腰梯形的高即可；
（2）利用等腰梯形的性质和相似三角形的判定方法证明：△ABP∽△PCE即可．
【解析】
（1）作AF⊥BC于F，作DG⊥BC于G，
∴∠AFB=∠DGC=90°且 AF∥DG，
在△ABF和△DCG中 ，
∴△ABF≌△DCG，
∴BF=CG，
∵AD∥BC且 AF∥DG，
∴AFGD是平行四边形，
∴AD=FG，
∵AD=3，BC=7，∴BF=2    
在Rt△ABF中，∠B=45°，∴∠BAF=45°，
∴AF=BF=2，
∴等腰梯形的高为2；
（2）∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∵∠APC=∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，
又∵∠B=∠APE∴∠BAP=∠EPC，
在△ABP和△PCE中，
∴△ABP∽△PCE．