Question

将从空中下落的雨滴看作为球体，设它竖直落向地面的过程中所受空气阻力大小为f=kr²v²，其中v是雨滴的速度大小，r是雨滴半径，k是比例系数。设雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。

（1）试通过列式说明雨滴在下落过程中加速度如何变化；

（2）设雨滴的密度为ρ，推导雨滴无风下落过程中的最大速度v_m与半径r的关系式；

（3）示意图中画出了半径为r₁、r₂（r₁>r₂）两种雨滴在空气中无初速下落的v–t图线，其中对应半径为r₁的雨滴；

（4）无风时，一般情况下小雨和暴雨雨滴落地时速度有何不同？说明该自然现象的原因。

Answer

（1）见解析；（2）；（3）①；（4）见解析

【解析】

（1）对雨滴受力分析如图所示

由牛顿第二定律可得：

由题意可知f=kr2v2，即：

雨滴下落过程中，速度v与加速度a方向相同，可见随着速度v的增加，加速度a减小，当阻力f增大到与重力mg一样大时，a减小到零（或雨滴做加速度减小的加速运动，直至加速度为零。）

（2）根据上述推导

当加速度为零时，雨滴速度最大，而雨滴质量为

当加速度a=0，可得雨滴的最大速度：

（3）由（2）中雨滴的最大速度，可知，当雨滴半径增大时，雨滴的最大速度也增大，因r1>r2，则①是半径为r1的雨滴；

（4）一般情况下暴雨雨滴落地时速度要比小雨雨滴落地时速度的速度快由（2）结论，雨滴收尾速度与半径有关，暴雨的雨滴体积大，因此速度也大。