Question

游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来，如图甲所示，我国把这种情形抽象为如图乙所示的模型：弧形轨道的下端N与竖直圆轨道平滑相接，P为圆轨道的最高点，使小球（0可视为质点）从弧形轨道上端滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动。不考虑小球运动所受的摩擦力等阻力。

（1）小球沿弧形轨道运动的过程中，经过某一位置A时动能为，重力势能为，经过另一位置B时动能为，重力势能为，请根据动能定理和重力做功的特点，证明：小球由A运动到B的过程中，总的机械能保持不变，即；

（2）已知圆形轨道的半径为R，将一质量为m₁的小球，从弧形轨道距地面高h=2.5R处由静止释放。

a请通过分析、计算，说明小球能否通过圆轨道的最高点P；

b如果在弧形轨道的下端N处静置另一个质量为m₂的小球。仍将质量为m₁的小球，从弧形轨道距地面高h=2.5R处静止释放，两小球将发生弹性正撞。若要使被碰小球碰后能通过圆轨道的最高点P，那么被碰小球的质量m₂需要满足什么条件？请通过分析、计算、说明你的理由。

Answer

（1）见解析（2）a、能过最高点；b、当满足时，小球被碰后能通过圆轨道的最高点P

【解析】

（1）根据动能定理，根据重力做功的特点可知

联立解得，整理可得

（2）a、假设小球刚好能过最高点，在最高点时小球只受重力作用，此时重力提供向心力

解得小球能过最高点的最小速度为

小球从M到P，设小球运动到最高点P时的速度为vp

根据机械能守恒定律

解得，即小球刚好能过最高点；

b、以小球为研究对象，设小球运动到N点时的速度为，

从M到N，根据机械能守恒定律，以两个小球为研究对象，碰后两小球的速度分别为

根据动量守恒定律

根据能量守恒定律

联立即得小球碰后的速度

因为小球从h=2.5R处滚下时恰好能过最高点，所以只要在N点被碰后的速度，就能过最高点，从上式中分析可以得到，当时，可得，所以当满足时，小球被碰后能通过圆轨道的最高点P。