Question

如图所示，离地面足够高处有一竖直的空管，质量为2kg，管长为24m，M、N为空管的上、下两端，空管受到F=16N竖直向上的拉力作用，由静止开始竖直向下做加速运动，同时在M处一个大小不计的小球沿管的轴线以初速度v₀竖直上抛，不计一切阻力，取g=10m/s²．求：

（1）若小球上抛的初速度为10m/s，经过多长时间从管的N端穿出？

（2）若此空管的N端距离地面64m高，欲使在空管到达地面时小球必须落到管内，在其他条件不变的前提下，求小球的初速度v₀大小的范围．

Answer

（1）以向下方向为正方向。

对空管，由牛顿第二定律可得mg－F=ma，

得a=2m/s2……1分

设经t时间，小球从N端穿出，小球下落的高度h1=－v0t+gt2…………1分

空管下落的高度h2=at2………………………………1分

则，h1－h2=L

联立得：－v0t+gt2－at2=L……………2分

代入数据解得：t=4s，t=－1.5s（舍）…………………1分

（2）设小球初速度v0，空管经t'时间到达地面，则H=at'2

得t'==8s…1分

小球在t'时间下落高度为h=－v0t'+gt'2…………………………………2分

小球落入管内的条件是：64m≤h≤88m ……………………………..1分

解得：29m/s≤v0≤32m/s

所以小球的初速度大小必须在29m/s到32m/s范围内……………………..2分

【解析】

试题（1）以向下方向为正方向．

对空管，由牛顿第二定律可得：mg-F=ma，得：a=2m/s2

设经t时间，小球从N端穿出，小球下落的高度：h1＝v0t+gt2

空管下落的高度：h2＝at2

则，h1-h2=L

联立得：−v0t+gt2−at2＝L

代入数据解得：t=4s，t=-1．5s（舍）

故小球经过4s时间从管内穿出．

（2）设小球初速度v0，空管经t'时间到达地面，则：

H＝a（t′）2，得：

小球在t′时间下落高度为：h＝v0t′+g（t′）2

小球落入管内的条件是：64m≤h≤88m

解得：29m/s≤v0≤32m/s

所以小球的初速度大小必须在29m/s到32m/s范围内．

故小球速度的范围为：29m/s≤v0≤32m/s