Question

如图所示，一轨道由半径为2 m的四分之一竖直圆弧轨道AB和长度可以调节的水平直轨道BC在B点平滑连接而成。现有一质量为0.2 kg的小球从A点无初速度释放，经过圆弧上的B点时，传感器测得轨道所受压力大小为3.6 N，小球经过BC段所受阻力为其重力的0.2倍，然后从C点水平飞离轨道，落到水平面上的P点，P、C两点间的高度差为3.2 m。小球运动过程中可以视为质点，且不计空气阻力。

（1）求小球运动至B点的速度大小；

（2）求小球在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功；

（3）为使小球落点P与B点的水平距离最大，求BC段的长度；

（4）小球落到P点后弹起，与地面多次碰撞后静止。假设小球每次碰撞机械能损失75%，碰撞前后速度方向与地面的夹角相等。求小球从C点飞出后静止所需的时间。

Answer

（1）4m/s（2）2.4J（3）3.36m（4）2.4s

【解析】试题分析：（1）小球在B点受到的重力与支持力的合力提供向心力，由此即可求出B点的速度；（2）根据动能定理即可求出小球在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功；（3）结合平抛运动的公式，即可求出为使小球落点P与B点的水平距离最大时BC段的长度；（4）由机械能的损失求出速度的损失，然后结合竖直上抛运动的公式求出各段时间，最后求和即可；

（1）小球在B点受到的重力与支持力的合力提供向心力，则：

代入数据可得：

（2）A到B的过程中重力和阻力做功，则由动能定理可得：

代入数据得：

（3）B到C的过程中，由动能定理得：

解得：

从C点到落地的时间：

B到P的水平距离：

代入数据，联立并整理可得：

可知。当时，P到B的水平距离最大，为L=3.36m

（4）由于小球每次碰撞机械能损失75%，由，则碰撞后的速度为碰撞前速度的，碰撞前后速度方向与地面的夹角相等，则碰撞后竖直方向的分速度为碰撞前竖直方向分速度的，所以第一次碰撞后上升到最高点的时间等于从C点到落地的时间的，所以从第一次碰撞后到发生第二次碰撞的时间：，同理，从第二次碰撞后到发生第三次碰撞的时间：，由此类推可知，从第n次碰撞后到发生第n+1次碰撞的时间：

小球运动的总时间：

由数学归纳法分可得：