Question

如图所示，在xOy平面内，有一电子源持续不断地沿x正方向每秒发射出N个速率均为v的电子，形成宽为2b、在y轴方向均匀分布且关于x轴对称的电子流．电子流沿x方向射入一个半径为R、中心位于原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xOy平面向里，电子经过磁场偏转后均从P点射出．在磁场区域的正下方有一对平行于x轴的金属平行板K和A，其中K板与P点的距离为d，中间开有宽度为2l且关于y轴对称的小孔．K板接地，A与K两板间加有正负、大小均可调的电压_UAK.穿过K板小孔到达A板的所有电子被收集且导出，从而形成电流．已知b＝R，d＝l，电子质量为m，电荷量为e，忽略电子间相互作用．

(1)求磁感应强度B的大小；

(2)求电子流从P点射出时与负y轴方向的夹角θ的范围；

(3)当_UAK＝0时，每秒经过极板K上的小孔到达极板A的电子数；

(4)画出电流i随_UAK变化的关系曲线．

Answer

(1)（2）－60°≤θ≤60°（3）0.82N（4）如图所示：

【解析】电子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律可以求出磁感应强度；求出电子从P点射出时与负y轴方向的夹角极限值，然后确定其范围；求出进入小孔的电子偏角，然后求出每秒经过极板K上的小孔到达板A的电子数；由动能定理求出遏制电压，然后求出电流的表达式，再作出图象；

【解析】
(1)由已知得：洛伦兹力提供向心力，

r＝R，解得：.

(2)设电子源最上端的电子从P点射出时与负y轴方向的夹角为θm，由图及几何关系知，解得θm＝60°.

同理电子源最下端的电子从P点射出时与负y轴方向的夹角θm′也为60°，由题意及几何关系得θ的范围为－60°≤θ≤60°

(3)设进入小孔的电子在P点与负y轴的最大夹角为α，则

解得α＝45°，y′＝Rsinα＝R.

设每秒经过极板K上的小孔到达极板A的电子数为n，则

因此n＝0.82N.

(4)由动能定理得出遏止电压Uc＝－mv2，与负y轴成45°角的电子的运动轨迹刚好与A板相切，其逆过程是类平抛运动，达到饱和电流所需的最小反向电压U′＝－mv2或根据(3)可得饱和电流大小imax＝0.82Ne.