Question

光滑水平平台AB上有一根轻弹簧，一端固定于A，自然状态下另一端恰好在B。平台B端连接两个内壁光滑、半径均为R=0.2m的1/4细圆管轨道BC和CD。D端与水平光滑地面DE相接。E端通过光滑小圆弧与一粗糙斜面EF相接，斜面与水平面的倾角θ可在0°≤θ≤75°范围内变化（调节好后即保持不变）。一质量为m=0.1kg的小物块（略小于细圆管道内径）将弹簧压缩后由静止开始释放，被弹开后以v₀=2m/s进入管道。小物块与斜面的滑动摩擦系数为，取g=10m/s²，不计空气阻力;

 

（1）求物块过B点时对细管道的压力大小和方向；

（2）当θ取何值时，小物块在EF上向上运动的时间最短？求出最短时间。

（3）求θ取不同值时，在小物块运动的全过程中产生的摩擦热量Q与tanθ的关系式。

Answer

（1）1N，方向竖直向上（2）0.3s（3）

【解析】（1）设轨道对物块的压力竖直向下，由牛顿第二定律得：

解得：F=1N

由牛顿第三定律，物块对轨道的压力大小为，方向竖直向上

（2）物块到达DE时的速度为v，根据动能定理得：

解得：

沿斜面上滑，根据牛顿第二定律得：

上滑时间为：

联立可得：

由数学知识可得，当时，有

（3）物块恰好能在斜面上保持静止，根据平衡条件有： ， ，则当，滑块在EF上停下后即保持静止

在EF上滑行的距离为： ，产生的摩擦热量为：

化简得：

当，滑块在EF上停下后返回，经多次往复运动后，最终静止于E点

产生的摩擦热量为：