Question

理论研究表明暗物质湮灭会产生大量高能正电子，所以在宇宙空间探测高能正电子是科学家发现暗物质的一种方法．如图为我国某研究小组为暗物质探测卫星设计的探测器截面图：开口宽为的正方形铝筒，下方区域I、Ⅱ为两相邻的方向相反的匀强磁场，区域Ⅲ为匀强电场，宽度都为d，磁感应强度都为B，电场强度．经过较长时间，仪器能接收到平行铝筒射入的不同速率的正电子，其中部分正电子将打在介质MN上，其速度方向与MN的夹角为θ．已知正电子的质量为m，电量为+e，不考虑相对论效应及电荷间的相互作用．

（1）求能到达电场区域的正电子的最小速率；

（2）在区域Ⅱ和Ⅲ的分界线上宽度为的区域有正电子射入电场，求正电子的最大速率；

（3）某段时间内MN只记录到三种θ角，其中两种对应于上述最小速率和最大速率的正电子，还有一种θ的正切值为．为使这些正电子在MN上的落点区域不可能重叠，求L的最小值．

Answer

(1) (2) (3)

【解析】（1）设正电子的最小速度为v1，半径为r1

、

解得：

（2）设正电子以最大速度v2在磁场Ⅰ中偏转距离为x2，半径为r2

由图根据几何关系可得：、

解得：、

，解得：

（3）设正电子在磁场Ⅰ中的偏转角为α，进入电场时的速度为v，出电场时沿电场线方向的偏转速度为vy，根据平抛运动知识可得：

，解得：

，得

i．正电子取最小速度v1时，在磁场Ⅰ中偏转角α1应为：，则，它在磁场Ⅰ中的偏转距离为x1=d

ii．正电子取最大速度v2时，由（2）结果可得，在磁场Ⅰ中偏转角α2应为：，

则，它在磁场Ⅰ中的偏转距离为

iii．正电子取速度v3时，时，可知对应的正电子在磁场Ⅰ中的偏转角α3应为：，对应在磁场中的半径，对应在磁场Ⅰ中偏转距离为

情况1：由图可知，从最右侧射入的速度为v3正电子与从最左侧以速度v1射入的正电子到达电场上边界位置间的距离为，可得：，解得

情况2：由图可知，从最左侧射入的速度为v3正电子与从最右侧以速度v2射入的正电子在到达电场上边界位置间的距离、，解得

为使这些正电子在MN上的落点区域不可能重叠， L的最小值应为