Question

竖直平面内存在着如图甲所示管道，虚线左侧管道水平，虚线右侧管道是半径R=1m的半圆形，管道截面是不闭合的圆，管道半圆形部分处在竖直向上的匀强电场中，电场强度E=4×10³V/m。小球a、b、c的半径略小于管道内径，b、c球用长的绝缘细轻杆连接，开始时c静止于管道水平部分右端P点处，在M点处的a球在水平推力F的作用下由静止向右运动，当F减到零时恰好与b发生了弹性碰撞，F-t的变化图像如图乙所示，且满足。已知三个小球均可看做质点且m_a=0.25kg，m_b=0.2kg，m_c=0.05kg，小球c带q=5×10^-4C的正电荷，其他小球不带电，不计一切摩擦，g=10m/s²，求

(1)小球a与b发生碰撞时的速度v₀；

(2)小球c运动到Q点时的速度v；

(3)从小球c开始运动到速度减为零的过程中，小球c电势能的增加量。

Answer

(1) (2)v=2m/s (3)

【解析】对小球a，由动量定理可得小球a与b发生碰撞时的速度；小球a与小球b、c组成的系统发生弹性碰撞由动量守恒和机械能守恒可列式，小球c运动到Q点时，小球b恰好运动到P点，由动能定理可得小球c运动到Q点时的速度；由于b、c两球转动的角速度和半径都相同，故两球的线速度大小始终相等，从c球运动到Q点到减速到零的过程列能量守恒可得；

【解析】
(1)对小球a，由动量定理可得

由题意可知，F-图像所围的图形为四分之一圆弧，面积为拉力F的冲量，

由圆方程可知

代入数据可得：

(2)小球a与小球b、c组成的系统发生弹性碰撞，

由动量守恒可得

由机械能守恒可得

解得

小球c运动到Q点时，小球b恰好运动到P点，由动能定理

代入数据可得

(3)由于b、c两球转动的角速度和半径都相同，故两球的线速度大小始终相等，假设当两球速度减到零时，设b球与O点连线与竖直方向的夹角为

从c球运动到Q点到减速到零的过程列能量守恒可得：

解得

因此小球c电势能的增加量：