Question

如图，坐标系xOy的第一象限内，以O为圆心半径分别为R、2R、3R的圆弧ab、cd、ef及两坐标轴围成I、II、III三个区域。I、II区域中存在磁感应强度大小为B₀的匀强磁场，其中I区域的磁场方向垂直坐标平面向外、II区域的磁场方向垂直坐标平面向里。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以某一初速度从坐标原点O沿+y方向射入磁场，与弧ab交点的坐标为。求：

(1)粒子的初速度大小；

(2)粒子从O点运动到弧cd经历的时间t；

(3)若III区域中也存在垂直坐标平面的匀强磁场，为使粒子不能从弧ef上射出磁场，求磁感应强度B满足的条件。

Answer

(1) (2) (3)当B垂直向里时， ；当B垂直向外时，

【解析】试题分析：（1）根据几何关系求出半径，根据洛伦兹力提供向心力求解速度；（2）画出粒子运动轨迹过程图，利用所转过的弧长除以速度大小即可求出粒子运动时间；（3）由于磁场方向不确定，故存在两种情况，分情况讨论，当III区域的磁场方向垂直坐标平面向外和垂直坐标平面向里两种情况，找到临界条件，即轨迹与III区域的外边界相切，用洛伦兹力提供向心力与临界几何关系结合即可求出磁感应强度B的取值范围．

(1)如图所示

由几何关系知，粒子在区域I中运动时的半径为

设粒子的初速度大小为v，由牛顿第二定律得：

联立解得：

（2）粒子在I区域的轨迹对应的圆心角为，故运动时间为，则有：

进入II区域后，粒子运动的偏转方向改变，但轨迹半径不变。轨迹与弧cd的交点C与A、O在一条直线上，运动轨迹如图所示

则粒子在I、II两区域的运动轨迹对应的圆心角相等，故运动时间相等

故粒子从O到C的运动时间为

整理得：

（3）粒子经过C点时速度沿+y方向，由几何关系可知C点的坐标为

若区域的磁场方向向里，粒子恰好从e点经过时，轨迹如图所示

由几何关系知：

整理得：

则：

若III区域中的磁场方向向外，粒子的轨迹恰好与弧ef相切时，轨迹如图所示

由几何关系知：

整理得：

则有：

为保证粒子不能从弧ef上射出磁场：

当III区域的磁场方向垂直坐标平面向里时，磁感应强度须满足

当III区域的磁场方向垂直坐标平面向凶时，磁感应强度须满足