Question

如图所示，两根间距为L的金属导轨MN和PQ，电阻不计，左端弯曲部分光滑，水平部分导轨与导体棒间的滑动摩擦因数为μ，水平导轨左端有宽度为d、方向竖直向上的匀强磁场Ⅰ，右端有另一匀强磁场Ⅱ，其宽度也为d，但方向竖直向下，两磁场的磁感强度大小均为B₀ ，相隔的距离也为d。有两根质量为m的金属棒a和b与导轨垂直放置，金属棒a电阻为R，金属棒b电阻为r，b棒置于磁场Ⅱ中点C、D处。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现将a棒从弯曲导轨上某一高处由静止释放并沿导轨运动。

（1）当a棒在磁场Ⅰ中运动时，若要使b棒在导轨上保持静止，则a棒刚释放时的高度应小于某一值h₀，求h₀的大小；

（2）若将a棒从弯曲导轨上高度为h（h<h₀）处由静止释放，a棒恰好能运动到磁场Ⅱ的左边界处停止，求此过程中金属棒b上产生的电热Q_b；

（3）若将a棒仍从弯曲导轨上高度为h（h<h₀）处由静止释放，为使a棒通过磁场Ⅰ时恰好无感应电流，可让磁场Ⅱ的磁感应强度随时间而变化，将a棒刚进入磁场Ⅰ的时刻记为t＝0，此时磁场Ⅱ的磁感应强度为B₀，试求出在a棒通过磁场Ⅰ的这段时间里，磁场Ⅱ的磁感应强度随时间变化的关系式。

Answer

(1) （2）(mgh－μmg2d)r/(R+r) （3）

【解析】试题分析：根据b棒受力平衡求出电流的大小，通过闭合电路欧姆定律求出感应电动势的大小，从而求出a棒的速度，根据机械能守恒定律求出a棒下降的高度；由全过程能量守恒与转化规律求出总热量，再根据电阻间的关系求出金属棒b上产生的电热；棒通过磁场Ⅰ时恰好无感应电流，说明感应电动势为零，即整个回路中的磁通量不变。a棒进入磁场做匀减速直线运动，b棒静止，根据磁通量不变求出磁场Ⅱ的磁感应强度随时间变化的关系式。

（1）因为a棒进入磁场Ⅰ后做减速运动，所以只要刚进入时b棒不动，b就可以静止不动．对对a棒：由机械能守恒：

根据闭合电路欧姆定律：

感应电动势为：E＝B0Lv0

对b棒：B0IL＝μmg

联立解得：

（2）由全过程能量守恒与转化规律：mgh＝μmg2d＋Q

总热量为：Q=(mgh－μmg2d)

解得金属棒b上产生的电热：

（3）a棒通过磁场Ⅰ时恰好无感应电流，说明感应电动势为零，

根据法拉第电磁感应定律：

在Δt≠0的前提下，ΔΦ＝0即Φ保持不变

对a棒：由机械能守恒：

a棒进入磁场Ⅰ后，由牛顿第二定律得：a＝μg

经过时间t，a棒进入磁场Ⅰ的距离为：

磁通量为：

又最初磁通量为：

联立解得：