Question

如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，半圆形轨道的半径为R．一质量为m的小物快以速度V从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出．忽略空气阻力（重力加速度为g）．

（1）小物块通过轨道最高点时对轨道压力大小为多少？

（2）小物快落地点到轨道下端的距离x与轨道半径R的值有关．若R的取值范围为[,]，且要使小物快从轨道上端水平飞出．则当R为何值时小物块落地点到轨道下端的距离x最大？最大值为多少？R为何值时小物块落地点到轨道下端的距离x最小？最小值为多少？

Answer

（1） （2）

【解析】试题分析：设小物块在轨道最高点速度为v1，对小物块从轨道下端运动到轨道最高点过程，由机械能守恒和牛顿第二定律即可求出速度；根据平抛公式和动能定理及牛顿第二定律在结合数学知识讨论极值。

（1）设小物块在轨道最高点速度为v1，对小物块从轨道下端运动到轨道最高点过程，由机械能守恒有：

对小物块在圆轨道最低点根据牛顿第二定律：

解得：

由牛顿第三定律：小物块在最高点对轨道的压力：

（2）小物块从轨道上端水平飞出后做平抛运动，设运动时间为t

有：

小物快落地点到轨道下端的距离

代入数据得：

设半圆轨道半径为R0时，小物块恰能过半圆轨道最高点，

此时对小物块在最高点有：

又根据能量守恒：

代入数据得：

即要使小物快从轨道上端水平飞出，半圆轨道半径不能低于

综上得：当时，x最大，最大值为xmax=

当时，x最小，最小值为xmin=