Question

如图所示为雨滴从高空下落过程中空气阻力f随雨滴速度v变化的大致情况，其中图线①、②分别对应半径不同的雨滴。

（1）请利用图线分析并说明雨滴下落过程中加速度和速度随时间变化的大致情况。

（2）已知图中直线的斜率值，其中，r为雨滴的半径。（雨滴的密度取）请比较①、②图线所示的两个雨滴下落的最终速度；请计算半径r=5mm的雨滴下落的最终速度。

（3）已知一滴雨珠的重力可达蚊子体重的50倍之多，但是下雨时蚊子却可以在“雨中漫步”。为研究蚊子不会被雨滴砸死的诀窍， 科学家用高速相机以每秒4000帧的速度拍摄，记录雨滴击中蚊子时二者相互作用的每一个动作，归纳并计算出蚊子与雨滴遭遇瞬间的作用力及其随雨滴向下移动的距离。针对雨滴下落时正中蚊子的情况，研究发现蚊子被雨滴击中时并不抵挡雨滴，而是与雨滴融为一体，顺应雨滴的趋势落下，随后迅速侧向微调与雨滴分离。现对比两种情况：①蚊子在空中被雨滴砸中；②蚊子栖息于地面时被雨滴砸中，请建立理想模型，通过计算比较两种情况下雨滴击中时的冲击对蚊子的伤害。（解题过程中需要用到的物理量，要在解题时作必要的说明）

Answer

（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】（1）雨滴下落过程中受到重力mg和空气阻力f的作用，加速度方向向下

由牛顿第二定律知加速度大小

题中给出的f-v图像表明，当下落速度v增大时，阻力f随之增大

由上式可知加速度a随之减小

由于加速度与速度方向相同，所以速度是增大的，只是增加得越来越慢

当重力mg和空气阻力f相等时，雨滴以最大速度做匀速运动。

（2）当mg=f时，雨滴达到最终速度，将雨滴的质量，阻力

代入可得①。

a．①式说明，雨滴的半径r越大，最终速越大，由f-v图像可判断出①图线表示的雨滴比②图线表示的雨滴半径大，因此下落速度更大。

b．将雨滴的密度、半径r=5mm及代入①式

可得半径r=5mm的雨滴下落的最终速度

（3）方法一：

将蚊子在空中被雨滴砸中的情况视为雨滴与蚊子发生完全非弹性碰撞的模型，将蚊子栖息于地面时被雨滴砸中的情况视为雨滴与蚊子和大地组成的整体发生完全非弹性碰撞的模型。

对发生完全非弹性碰撞的两个物体应用动量守恒定律：

碰撞过程损失的机械能为：①

在第①种情况中，因为雨滴的质量M约为蚊子的质量m的50倍，由①式可知损失的机械能约为雨滴下落时动能的；

在第②种情况中，将蚊子和地面视为整体，①式中的m代表地球与蚊子的质量之和，由①式可知损失的机械能约为雨滴下落时动能的全部。

碰撞过程机械能的损失伴随着系统发生不可恢复的形变等过程，即使认为两次作用的时间相等（实际上应有），亦可知第②种情况对蚊子的伤害大。

方法二：

仍采取上述完全非弹性碰撞模型，但从冲量和力的角度进行分析。

设雨滴的质量为M，蚊子的质量为m，雨滴下落到地面附近时速度大小为，因相互作用时间很短，不考虑重力的影响。

第①种情况：对雨滴与蚊子相互作用的过程应用动量守恒定律：，可得

设蚊子与雨滴间的相互作用力为，作用时间为，对雨滴应用动量定理，有

由于雨滴的质量M约为蚊子的质量m的50倍，所以v与几乎相等， 即雨滴受到的冲量约等于零；

第②种情况：是雨滴与栖息了一只蚊子的地面发生相互作用的过程，雨滴与地面作用前速度大小为，作用后速度为零，设蚊子（与地面）和雨滴间的相互作用力为，作用时间为，对雨滴应用动量定理：

可知雨滴受到的冲量约等于雨滴质量与下落速度二者的乘积；

两种情况相比，因为蚊子对雨滴的冲量与雨滴对蚊子的冲量大小相等，可知，第①种情况中蚊子受到的冲量小，即使认为两次作用的时间相等（实际上应有），仍有，因此第②种情况对蚊子的伤害大。