Question

如图所示，金属平板MN垂直于纸面放置，MN板中央有小孔O，以O为原点在纸面内建立xOy坐标系，x轴与MN板重合。O点下方的热阴极K通电后能持续放出初速度近似为零的电子，在K与MN板间加一电压，从O点射出的电子速度大小都是v₀，方向在纸面内，且关于y轴对称，发散角为2θ弧度。已知电子电荷量为e，质量为m，不计电子间相互作用及重力的影响。

(1)求K与MN间的电压的大小U₀。

(2)若x轴上方存在范围足够大的垂直纸面向里的匀强磁场，电子打到x轴上落点范围长度为△x，求该磁场的磁感强度B₁和电子从O点到达x轴最短时间t。

(3)若x轴上方存在一个垂直纸面向里的圆形匀强磁场区，电子从O点进入磁场区偏转后成为一宽度为△y、平行于x轴的电子束，求该圆形区域的半径R及磁场的磁感强度B₂。

Answer

(1) (2) , (3) ,

【解析】试题分析：在电场中根据动能定理即可求出K与MN板间的电压U0；画出粒子运动轨迹，根据洛伦兹力提供向心力和几何关系即可求出磁场感应强度B1和电子从O点到达x轴最短时间；若x轴上方存在一个垂直纸面向里的圆形匀强磁场区，电子从O点进入磁场，画出粒子运动轨迹，根据洛伦兹力提供向心力和几何关系即可求出磁场感应强度和半径。

(1) 由动能定理有：

解得：

(2) 粒子运动轨迹如图所示：

从O点射出的电子落在x轴PQ间，设电子做圆周运动半径为r，由几何关系有

Δx＝2r－2rcos θ

由向心力公式有：

解得：

最短路程为：

则有：

(3) 电子运动轨迹如图所示：

由几何关系可知r＝R

且有Δy＝(r＋rsin θ)－(r－rsin θ)＝2rsin θ

解得：

由向心力公式有：

解得：