Question

如图所示，已知倾角为θ=45°、高为h的斜面固定在水平地面上．一小球从高为H（h＜H＜h）处自由下落，与斜面做无能量损失的碰撞后水平抛出．小球自由下落的落点距斜面左侧的水平距离x满足一定条件时，小球能直接落到水平地面上．

（1）求小球落到地面上的速度大小；

（2）求要使小球做平抛运动后能直接落到水平地面上，x应满足的条件；

（3）在满足（2）的条件下，求小球运动的最长时间．

Answer

（1）小球落到地面上的速度大小为；

（2）要使小球做平抛运动后能直接落到水平地面上，x应满足的条件为；

（3）在满足（2）的条件下，小球运动的最长时间为2．

【解析】试题分析：（1）由于小球与斜面碰撞无能量损失，自由下落和平抛运动机械能也守恒，所以小球整个运动过程中机械能守恒，据此列式求解小球落到地面上的速度大小；

（2）小球与斜面碰撞后做平抛运动，当正好落在斜面底端时，x最小，根据平抛运动的基本公式结合几何关系、动能定理求出x的最小值，而x的最大值即为h，从而求出x的范围；

（3）根据竖直方向做自由落体运动，由运动学公式列出总时间的表达式，再由数学知识求解最长的时间．

【解析】
（1）设小球落到底面的速度为v，根据机械能守恒得：

，

得：

（2）小球做自由落体的末速度为：

小球做平抛运动的时间为：

由s＞h﹣x

解得：

（3）

当H﹣h+x=h﹣x，即x=h﹣时，小球运动时间最长，

x=h﹣，符合（2）的条件

代入得：

答：

（1）小球落到地面上的速度大小为；

（2）要使小球做平抛运动后能直接落到水平地面上，x应满足的条件为；

（3）在满足（2）的条件下，小球运动的最长时间为2．

【点评】本题是机械能守恒与自由落体运动、平抛运动的综合，既要把握每个过程的物理规律，更要抓住它们之间的联系，比如几何关系，运用数学上函数法求解极值．