Question

如图所示，在xOy平面内，有一电子源持续不断地沿x轴正方向每秒发射出N个速率均为v的电子，形成宽为2b，在y轴方向均匀分布且关于x轴对称的电子流．电子流沿x方向射入一个半径为R，中心位于原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xOy平面向里，电子经过磁场偏转后均从P点射出，在磁场区域的正下方有一对平行于x轴的金属平行板K和A，其中K板与P点的距离为d，中间开有宽度为2l且关于y轴对称的小孔．K板接地，A与K两板间加有正负、大小均可调的电压U_AK，穿过K板小孔到达A板的所有电子被收集且导出，从而形成电流．已知b＝R，d＝l，电子质量为m，电荷量为e，忽略电子间的相互作用．

(1)求磁感应强度B的大小；

(2)求电子从P点射出时与负y轴方向的夹角θ的范围；

(3)当U_AK＝0时，每秒经过极板K上的小孔到达极板A的电子数；

(4)画出电流i随U_AK变化的关系曲线.

Answer

(1)

(2) θ在关于y轴左、右对称的60°(含)范围内

(3)

(4) 图线如下

【解析】1．轨迹示意图

(1) 电子均从P点射出，电子做圆周运动的轨道半径：r=R，电子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得： ，

解得B＝.

(2) 上端电子从P点射出时与负y轴夹角最大为θm，由几何关系可得sinθm=b/R，

得：θm=60°。

同理下端电子从P点射出时与负y轴最大夹角也为60°，范围是−60°⩽θ⩽60°；

θ在关于y轴左、右对称的60°(含)范围内．

(3)要进入小孔，电子到达P点时与y轴负方向的夹角φ≤45°

则：η＝＝≤

则当UAK＝0时每秒到达A板的电子数：N0＝N.

(4)①当UAK≥0时，到达的电子全部到A板

i1＝N0e＝Ne

②设当UAK＝U1时，φ1＝45°对应的电子刚好到达A板

则eU1＝0－m(vcos φ1)2

解得UAK＝－

即在区间(－，0)之间，i2＝N0e＝Ne

③当UAK反向再增大时，将出现有电子(该临界角度为α)

刚好打到A板上，而φ>α的电子打不到A板

i＝Ne

eUAK＝0－m(vcos α)2

解得：i＝ Ne

综上所述：i－UAK图线如下

【名师点睛】

电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律可以求出磁感应强度；求出电子从P点射出时与负y轴方向的夹角极限值，然后确定其范围；求出进入小孔的电子偏角，然后求出每秒经过极板K上的小孔到达板A的电子数；由动能定理求出遏制电压，然后求出电流的表达式，再作出图象。