Question

间距为l的两平行金属导轨由水平部分和倾斜部分平滑连接而成，如图1所示，倾角为θ的导轨处于大小为B₁，方向垂直导轨平面向上的匀强磁场区间Ⅰ中，水平导轨上的无磁场区间静止放置一质量为3m的“联动双杆”(由两根长为l的金属杆cd和ef，用长度为L的刚性绝缘杆连接而成)，在“联动双杆”右侧存在大小为B₂，方向垂直导轨平面向上的匀强磁场区间Ⅱ，其长度大于L，质量为m，长为l的金属杆ab，从倾斜导轨上端释放，达到匀速后进入水平导轨(无能量损失)，杆ab与“联动双杆”发生碰撞后杆ab和cd合在一起形成“联动三杆”，“联动三杆”继续沿水平导轨进入磁场区间Ⅱ并从中滑出，运动过程中，杆ab、cd和ef与导轨始终接触良好，且保持与导轨垂直．已知杆ab、cd和ef电阻均为R＝0.02 Ω，m＝0.1 kg，l＝0.5 m，L＝0.3 m，θ＝30°，B₁＝0.1 T，B₂＝0.2 T，g＝10 m/s².不计摩擦阻力和导轨电阻，忽略磁场边界效应．求：

(1)杆ab在倾斜导轨上匀速运动时的速度大小v₀；

(2)“联动三杆”进入磁场区间Ⅱ前的速度大小v；

(3)“联动三杆”滑过磁场区间Ⅱ产生的焦耳热Q.

Answer

(1)6 m/s (2)1.5 m/s (3)0.25 J

【解析】(1)匀速条件：mgsin θ＝

解得v0＝6 m/s

(2)由动量守恒定律得：mv0＝4mv

解得v＝1.5 m/s

(3)设“联动三杆”进入磁场区间Ⅱ时速度变化Δv1

由动量定理得： B2lΔt＝－4mΔv1

解得Δv1＝＝－0.25 m/s

设“联动三杆”出磁场区间Ⅱ时速度变化Δv2，同理可得

Δv2＝－0.25 m/s

“联动三杆”滑出磁场区间Ⅱ时的速度为

v′＝v＋Δv1＋Δv2＝1 m/s

则Q＝×4m(v2－v′2)＝0.25 J.