Question

如甲图所示，光滑导体轨道PMN和P'M'N'是两个完全一样轨道，是由半径为r的四分之一圆弧轨道和水平轨道组成，圆弧轨道与水平轨道在M和M'点相切，两轨道并列平行放置，MN和M'N'位于同一水平面上，两轨道之间的距离为L，PP'之间有一个阻值为R的电阻，开关K是一个感应开关（开始时开关是断开的），MNN'M'是一个矩形区域内有竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场，水平轨道MN离水平地面的高度为h，其截面图如乙所示。金属棒a和b质量均为m、电阻均为R。在水平轨道某位置放上金属棒b，静止不动，a棒从圆弧顶端PP' 静止释放后，沿圆弧轨道下滑，若两导体棒在运动中始终不接触，当两棒的速度稳定时，两棒距离，两棒速度稳定之后，再经过一段时间，b棒离开轨道做平抛运动，在b棒离开轨道瞬间，开关K闭合。不计一切摩擦和导轨电阻，已知重力加速度为g。求：

（1）两棒速度稳定时，两棒的速度分别是多少？

（2）两棒落到地面后的距离是多少？

（3）整个过程中，两棒产生的焦耳热分别是多少？

Answer

（1）（2）（3）

【解析】（1）a棒沿圆弧轨道运动到最低点M时，由机械能守恒定律得：

解得a棒沿圆弧轨道最低点M时的速度

a棒向b棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量变小，产生感应电流。a棒受到与其运动方向相反的安培力而做减速运动，b棒则在安培力的作用下向右做加速运动。只要a棒的速度大于b棒的速度，回路总有感应电流，a棒继续减速，b棒继续加速，直到两棒速度相同后，回路面积保持不变，不产生感应电流，两棒以相同的速度做匀速运动。

从a棒进入水平轨道开始到两棒达到相同速度的过程中，两棒在水平方向受到的安培力总是大小相等，方向相反，所以两棒的总动量守恒。

由动量守恒定律得：

解得两棒以相同的速度做匀速运动的速度

（2）经过一段时间，b棒离开轨道后，a棒与电阻R组成回路，从b棒离开轨道到a棒离开轨道过程中a棒受到安培力的冲量

由动量定理：

解得

由平抛运动规律得：两棒落到地面后的距离

（3）b棒离开轨道前，两棒通过的电流大小总是相等，两棒产生的焦耳热相等

由能量守恒定律可知：

解得：

b棒离开轨道后，a棒与电阻R通过的电流大小总是相等，两都产生的焦耳热相等

由能量守恒定律可知：

解得：

所以整个过程中，a棒产生的焦耳热