Question

在竖直面内建立直角坐标系，曲线位于第一象限的部分如图，在曲线上不同点以初速度v₀向x轴负方向水平抛出质量为m，带电量为+q的小球，小球下落过程中都会通过坐标原点，之后进入第三象限的匀强电场和匀强磁场区域，磁感应强度为，方向垂直纸面向里，小球恰好做匀速圆周运动，并在做圆周运动的过程中都能打到y轴负半轴上（已知重力加速度为g=10m/s²、 ）．求：

（1）第三象限的电场强度大小及方向；

（2）沿水平方向抛出的初速度v₀；

（3）为使所有的小球都打到y轴负半轴，所加磁场区域的最小面积．

Answer

（1）0.1N/C，方向：竖直向上（2）10m/s（3）0.5m2

【解析】试题分析：（1）小球在第三象限做匀速圆周运动，说明受到的合外力提供向心加速度，即洛伦兹力提供向心加速度，由此即可得出电场力与重力大小相等方向相反；
（2）小球在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出小球的速度；
（3）分析小球在电场中运动的可能的情况，结合矢量的分解的方法，求出粒子进入磁场时的速度方向与初速度、末速度的关系，得出半径与偏转距离的关系，从而得出磁场的长度和宽度，即可求出磁场区域的最小面积．

（1）小球做匀速圆周运动，重力与电场力合力为零，即，

解得，方向：竖直向上；

（2）小球在电场中做类平抛运动，

水平方向： ，

竖直方向： ，

由题意可知： ，

解得： ；

（3）设小球进入第三象限时的速度为v，与x轴负方向夹角为α，则，

小球在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，

由牛顿第二定律得，

解得： ，

小球打在y轴的点与原点的距离： ，

所有小球均从y轴负半轴上同一点进入第四象限，

最小磁场区域为一半径为的半圆，

磁场面积，

解得，磁场最小面积： ；