Question

人们使用天文望远镜在宇宙中发现了许多双星系统。某一双星系统的两个星体的线度远小于两星体间的距离，该双星系统距离其他星体很远，可视为一孤立系统。根据光度学测量得知，该双星系统中两个星体的质量均为M，两星体间的距离为L，它们围绕两者连线的中点做圆周运动。已知引力常量为G。

（1）计算该双星系统的运动周期T。

（2）若实际观测到的双星系统的运动周期为T₀，且=（N>1），为了解释T与T₀的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。现建立一种简化模型，我们假定在以两个星体连线为直径的球体内均匀分布着暗物质，不考虑其他暗物质的影响。试根据这一模型和上述观测结果确定该暗物质的密度。

Answer

(1) (2)

【解析】（1）双星均绕它们连线的中点做圆周运动，设运动的速率为v，

得 ①

解得：②

则周期为： ③

（2）根据观测结果，星体的运动周期： ④

这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量，位于中点O处的质点的作用相同．考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度，

则有 ⑤

解得： ⑥

因为在周长一定时，周期和速度成反比，由④式得 ⑦

把②⑥式代入⑦式得：

设所求暗物质的密度为，则：

解得：

点睛：本题是双星问题，要抓住双星系统的条件：角速度与周期相同，运用牛顿第二定律采用隔离法进行研究，关键找出向心力来源，然后根据牛顿第二定律列方程求解，要细心。