Question

一长木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物块；在木板右方有一墙壁，木板右端与墙壁的距离为4．5 m，如图（a）所示。t＝0时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至t＝1 s时木板与墙壁碰撞（碰撞时间极短）。碰撞前后木板速度大小不变，方向相反；运动过程中小物块始终未离开木板。已知碰撞后1 s时间内小物块的v­t图线如图（b）所示。木板的质量是小物块质量的15倍，重力加速度大小g取10 m/s²。求：

（1）木板与地面间的动摩擦因数μ₁及小物块与木板间的动摩擦因数μ₂；

（2）木板的最小长度；

（3）木板右端离墙壁的最终距离。

Answer

（1）μ1＝0．1 μ2＝0．4 （2）木板的最小长度为6．0 m （3）木板右端离墙壁的最终距离为6．5 m

【解析】

试题分析： （1）规定向右为正方向。木板与墙壁相碰前，小物块和木板一起向右做匀变速运动，设加速度为a1，小物块和木板的质量分别为m和M。由牛顿第二定律有

－μ1（m＋M）g＝（m＋M）a1 ①

由题图（b）可知，木板与墙壁碰前瞬间的速度v1＝4 m/s，由运动学公式得

v1＝v0＋a1t1 ②

s0＝v0t1＋a1t12 ③

式中，t1＝1 s，s0＝4．5 m是木板碰前的位移，v0是小物块和木板开始运动时的速度。

联立①②③式和题给条件得μ1＝0．1 ④

在木板与墙壁碰撞后，木板以－v1的初速度向左做匀变速运动，小物块以v1的初速度向右做匀变速运动。设小物块的加速度为a2，由牛顿第二定律有－μ2mg＝ma2 ⑤

由题图（b）可得 ⑥

式中，t2＝2 s, v2＝0，联立⑤⑥式和题给条件得

μ2＝0．4 ⑦

（2）设碰撞后木板的加速度为a3，经过时间Δt，木板和小物块刚好具有共同速度v3。由牛顿第二定律及运动学公式得

μ2mg＋μ1（M＋m）g＝Ma3 ⑧

v3＝－v1＋a3Δt ⑨

v3＝v1＋a2Δt ⑩

碰撞后至木板和小物块刚好达到共同速度的过程中，木板运动的位移为

s1＝Δt ⑪

小物块运动的位移为

s2＝Δt ⑫

小物块相对木板的位移为

Δs＝s2－s1 ⑬

联立⑥⑧⑨⑩⑪⑫⑬式，并代入数值得

Δs＝6．0 m ⑭

因为运动过程中小物块没有脱离木板，所以木板的最小长度应为6．0 m。

（3）在小物块和木板具有共同速度后，两者向左做匀变速运动直至停止，设加速度为a4，此过程中小物块和木板运动的位移为s3，由牛顿第二定律及运动学公式得

μ1（m＋M）g＝（m＋M）a4 ⑮

0－v32＝2a4s3 ⑯

碰后木板运动的位移为s＝s1＋s3 ⑰

联立⑥⑧⑨⑩⑪⑮⑯⑰式，并代入数值得s＝－6．5 m ⑱

木板右端离墙壁的最终距离为6．5 m。

考点：牛顿第二定律的综合应用

【名师点睛】本题考查牛顿第二定律及运动学公式的应用，涉及两个物体多个过程，题目中问题较多，但只要认真分析，一步步进行解析，是完全可以求解的。