Question

如图所示，在竖直平面的坐标系内，一根长为的不可伸长的细绳，上端固定于轴上的A点，另一端系一质量为的小球，在轴上的P点固定一个表面光滑的小钉，P点与A点保持相距。现拉小球使细线绷直并处在水平位置，然后由静止释放小球，当细绳碰到钉子后，小球就以P点为圆心做圆周运动，已知重力加速度大小为，求：

（1）若调节A点的位置，使，则小球运动到最低点时，细绳中的拉力为多少；

（2）若小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，求OA的取值范围；

（3）在第二问中，若小球经过最低点时绳子立即断开，试确定小球经过轴时的坐标范围。

Answer

（1）；

（2）；

（3），之间

【解析】

试题分析：（1）小球由最高点到最低点，根据动能定理：

根据牛顿第二定律：

而且：，整理可以得到：。

设OA的距离为，从小球释放到圆周运动的最高点，根据动能定理：

，若小球恰好能过圆周运动的最高点，则：

，则的最小值为；

根据题意可得，当P移到O点时，则OA的高度为，且能过最高点，

则OA的取值范围为：。

（3）当时，小球直接摆下。正好过坐标；当时，，且小球过最低点的速度为，根据动能定理：

，细绳断开后小球做平抛运动，水平方向有，竖直方向下落的高度，可以得到：，所以最低点的纵坐标为。

考点：机械能守恒定律、牛顿第二定律

【名师点睛】小球在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，应用机械能守恒定律与牛顿第二定律即可正确解题；解题时要注意，小球到达最帝点时，重力和拉力提供向心力。