Question

如图所示，一根长 L=1.5m 的光滑绝缘细直杆MN，竖直固定在场强为 E=1.0×10⁵N/C．与水平方向成θ=30°角的倾斜向上的匀强电场中．杆的下端M固定一个带电小球 A，电荷量Q=+4.5×10^﹣6C；另一带电小球 B 穿在杆上可自由滑动，电荷量q=+1.0×10^﹣6 C，质量m=1.0×10^﹣2 kg．现将小球B从杆的上端N静止释放，小球B开始运动．（静电力常量k=9.0×10 ⁹N•m²/C²，取 g=l0m/s₂）

（1）小球B开始运动时的加速度为多大？

（2）小球B的速度最大时，距M端的高度h₁为多大？

（3）小球B从N端运动到距M端的高度h₂=0.61m时，速度为v=1.0m/s，求此过程中小球B的电势能改变了多少？

Answer

（1）3.2 m/s2 ；

（2）0.9 m；

（3）8.4×10﹣2J

【解析】

试题分析：（1）对小球B进行受力分析，运用牛顿第二定律求出开始运动时的加速度大小．

（2）根据受力情况分析小球B的运动情况．小球B向下运动，受A的斥力增大，加速度减小，速度增大，当小球B速度最大时合力减为零．由平衡条件和库仑定律求解．

（3）由于A对B的库仑力做功是变力功，所以运用动能定理求解电场力做功，即可得到电势能的变化量．

【解析】
（1）开始运动时小球B受重力、库仑力、杆的弹力和电场力，沿杆方向运动，将电场力沿杆的方向和垂直杆的方向分解，由牛顿第二定律得：

mg﹣﹣qEsinθ=ma

解得：a=g﹣

代入数据解得：a=3.2 m/s2．

（2）小球B向下运动，受A的斥力增大，加速度减小，速度增大，当小球B速度最大时合力减为零，即：

+qEsinθ=mg

解得：h1=

代入数据解得：h1=0.9 m．

（3）小球B从开始运动到速度为v的过程中，设重力做功为W1，电场力做功为W2，库仑力做功为W3，根据动能定理有：

W1+W2+W3=mv2

W1=mg（L﹣h2）

W2=﹣qE（L﹣h2）sinθ

解得：W3=mv2﹣mg（L﹣h2）+qE（L﹣h2）sinθ

从功能角度来说，电势能的改变量的大小就等于电场力做的功．电场力做负功，电势能增大．动能的改变量就等于总功．

设小球B的电势能改变了△Ep，则：△Ep=﹣（W2+W3）

△Ep=mg（L﹣h2）﹣mv2

解得：△Ep=8.4×10﹣2J

答：（1）小球B开始运动时的加速度为3.2 m/s2 ；

（2）小球B的速度最大时，距M端的高度h1为0.9 m；

（3）小此过程中小球B的电势能增加了8.4×10﹣2J．

【点评】此题关键能够正确对小球B进行受力分析和运动分析，知道电场力做功量度电势能的变化，常用动能定理求解变力功．