Question

如图所示，在桌面上方有一倒立的玻璃圆锥，顶角∠AOB=120°，顶点O与桌面的距离为4a，圆锥的底面半径R=a，圆锥轴线与桌面垂直．有一半径为R的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的底面上，光束的中心轴与圆锥的轴重合．已知玻璃的折射率n=，求光束在桌面上形成的光斑的面积．

Answer

πa2．

【解析】

试题分析：当半径为R的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的底面上，经过第一次折射时，由于入射角等于零，所以折射角也是零，因此折射光线不发生偏折．当第二次折射时，由于入射角等于30°，而玻璃的折射率n=，可得临界角与入射角的关系，判断光线不会发生光的全反射，作出光路图，可根据几何关系可确定光斑的半径，即可求得光斑的面积．

【解析】
设玻璃的临界角为C，则有：sinC==

如图所示，射到OA界面的入射角为：α=30°，

则有：sinα=＜sinC，α＜C

故入射光线能从圆锥侧面射出．

设折射角为β，无限接近A点的折射光线为AC，根据折射定律有：

sinβ=nsinα

解得：β=60°

过O点作OD∥AC，则∠O2OD=β﹣α=30°

在直角三角形O1AO中，O1O=Rtan30°=a

在直角三角形△ACE中，EC=AEtan30°=（4a+a）=a

故O2C=EC﹣R=a

O2D=O2Otan30°=4atan30°=a

光束在桌面上形成光环的面积

S=π•O2D2﹣π•O2C2=πa2

答：光束在桌面上形成的光照亮部分的面积为πa2．

【点评】本题关键之处是根据光的折射定律与反射定律作出光路图，再利用几何关系来辅助计算．