Question

如图1所示，匀强磁场的磁感应强度B为0.5T，其方向垂直于倾角θ为30°的斜面向上．绝缘斜面上固定有“A”形状的光滑金属导轨MPN（电阻忽略不计），MP和NP长度均为2.5m，MN连线水平，长为3m，以MN的中点O为原点，OP为x轴建立一维坐标系Ox，一根粗细均匀的金属杆CD，长度d为3m，质量m为1kg，电阻R为0.3Ω，在拉力F的作用下，从MN处以恒定速度v=1m/s在导轨上沿x轴正向运动（金属杆与导轨接触良好），g取10m/s²．

（1）求金属杆CD运动过程中产生的感应电动势E及运动到x=0.8m处电势差U_CD；

（2）推导金属杆CD从MN处运动到P点过程中拉力F与位置坐标x的关系式，并在图2中画出F﹣x关系图象；

（3）求金属杆CD从MN处运动到P点的全过程产生的焦耳热．

Answer

（1）金属杆CD运动过程中产生的感应电动势E=1.5V，运动到x=0.8m处CD之间的电势差是﹣0.6V；

（2）金属杆CD从MN处运动到P点过程中拉力F与位置坐标x的关系式是F=5+3.75（2.0﹣x），并在图2中画出F﹣x关系图象如图；

（3）金属杆CD从MN处运动到P点的全过程产生的焦耳热是7.5J．

【解析】

试题分析：（1）导体棒切割磁感线产生感应电动势，由几何关系求得x=0.8m处的电动势，由欧姆定律即可求得CD之间的电势差；

（2）根据上述发现，感应电流大小与导体长度无关，则电流恒定，因而由电量表达式结合时间即可求解；

（3）当导体棒匀速运动，由有效长度可列出安培力大小关于向下运动位移的表达式，根据安培力与位移成线性关系，可利用安培力平均值来求出产生焦耳热．

【解析】
（1）导体棒开始运动时，回路中产生的感应电动势为：E=Bdv=0.5×3×1=1.5V；

由几何关系得：m，

，

接入导轨之间的有效长度：L=2•（2.0﹣vt）•tan∠MPO=1.5×（2.0﹣vt），

金属杆CD运动过程中产生的有效感应电动势E：

E=BLv=0.5×1.5×（2.0﹣x）×1=0.75（2.0﹣x），

运动到x=0.8m处时的有效电动势：E1=0.75（2.0﹣x）=0.75×（2.0﹣0.8）V=0.9V．

这一段相当于相当于电源，而且轨道没有电阻，所以电源是被短接的，那么接入回路中的这一部分电势处处相等，所以CD两端电势差就由剩余两端的导体棒产生，又由右手定则判断D比C电势高；

所以：UDC=E﹣E1=1.5V﹣0.9V=0.6V，

UCD=﹣0.6V；

（2）接入电路的导体棒的电阻：

感应电流：A

安培力F安=BIL=0.5×5×1.5（2.0﹣x）=3.75（2.0﹣x）

由平衡条件得：mgsinθ+F安=F

得拉力F与位置坐标x的关系式：F=5+3.75（2.0﹣x）

x=0时，F=12.5；

x=2.0时，F=5N画出F﹣x关系图象如图：

（3）设导体棒经t时间沿导轨匀速向上运动的位移为x，

则t时刻导体棒切割的有效长度Lx=L﹣2x

导体棒在导轨上运动时所受的安培力：F安=3.75（2.0﹣x）

因安培力的大小F安与位移x成线性关系，故通过导轨过程中导体棒所受安培力的平均值：N

产生的焦耳热：J

答：（1）金属杆CD运动过程中产生的感应电动势E=1.5V，运动到x=0.8m处CD之间的电势差是﹣0.6V；

（2）金属杆CD从MN处运动到P点过程中拉力F与位置坐标x的关系式是F=5+3.75（2.0﹣x），并在图2中画出F﹣x关系图象如图；

（3）金属杆CD从MN处运动到P点的全过程产生的焦耳热是7.5J．

【点评】考查法拉第电磁感应定律，闭合电路欧姆定律，共点力平衡条件及安培力表达式．本题突破口：产生感应电流与导体棒有效长度无关，同时巧用安培力与位移成线性关系，由安培力平均值来求焦耳热．

第三小问另一种解法：设导体棒经t时间沿导轨匀速向下运动的位移为x，则t时刻导体棒切割的有效长度Lx=L﹣2x，求出导体棒在导轨上运动时所受的安培力，作出安培力大小随位移x变化的图象，图象与坐标轴围成面积表示导体棒克服安培力作功，也为产生的焦耳热．