Question

如图所示，整个轨道在同一竖直平面内，直轨道AB在底端通过一段光滑的曲线轨道与一个光滑的四分之一圆弧轨道CD平滑连接，圆弧轨道的最高点C与B点位于同一高度．圆弧半径为R，圆心O点恰在水平地面．一质量为m的滑块（视为质点）从A点由静止开始滑下，运动至C点时沿水平切线方向离开轨道，最后落在地面上的E点．已知A点距离水平地面的高度为H，OE=2R，重力加速度取g，不计空气阻力．求：

（1）滑块运动到C点时的速度大小v_C；

（2）滑块运动过程中克服轨道摩擦力所做的功W_f；

（3）若滑块从直轨道上A′点由静止开始下滑，运动至C点时对轨道恰好无压力，则A′点距离水平地面的高度为多少？

Answer

（1）滑块运动到C点时的速度大小vC是．

（2）滑块运动过程中克服轨道摩擦力所做的功Wf是mg（H﹣2R）．

（3）A′点距离水平地面的高度为．

【解析】

试题分析：（1）滑块从C到E做平抛运动，已知水平位移和竖直位移，可由平抛运动两个分位移的公式求出C点的速度．

（2）对于从A到C的过程，运用动能定理可求得克服轨道摩擦力所做的功Wf．

（3）滑块运动至C点时对轨道恰好无压力，由重力充当向心力，由牛顿第二定律可求出经过C点时的速度，再由动能定理求A′点距离水平地面的高度．

【解析】
（1）滑块从C到E做平抛运动，水平位移为2R，竖直位移为R

则有：

2R=vCt、R=gt2，可解得 vC=

（2）对于从A到C的过程，运用动能定理得

mg（H﹣R）﹣Wf=mvC2﹣0

解得，滑块运动过程中克服轨道摩擦力所做的功 Wf=mg（H﹣2R）

（3）设A′点的距离水平地面的高度为h．

在C点有 mg=m ①

从A′到C，由动能定理得

mg（h﹣R）﹣Wf′=mvC′2﹣0 ②

滑块在直轨道上下滑时重力做功与克服摩擦力做功的比值是定值，

所以有：= 解得Wf′=mg，代入②式

联立①、②两式，可解得 h=

答：

（1）滑块运动到C点时的速度大小vC是．

（2）滑块运动过程中克服轨道摩擦力所做的功Wf是mg（H﹣2R）．

（3）A′点距离水平地面的高度为．

【点评】本题要分析清楚物体的运动情况，正确选择研究过程，寻找每个过程和状态所遵守的物理规律是关系，要掌握平抛运动的研究方法：运动的分解法．