Question

如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直半径，P点到桌面的竖直距离也是R．用质量m₁=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点．用同种材料、质量为m₂=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点后其位移与时间的关系为s=6t﹣2t²，物块飞离桌面后由P点沿切线落入圆轨道．取g=10m/s²．求：

（1）判断m₂能否沿圆轨道到达M点；

（2）BP间的水平距离；

（3）释放后m₂运动过程中克服摩擦力做的功．

Answer

（1）m2不能沿圆轨道到达M点；

（2）BP间的水平距离为4.1m；

（3）释放后m2运动过程中克服摩擦力做的功为5.6J．

【解析】

试题分析：（1）物块在内轨道做圆周运动，在最高点有临界速度，则mg=m，根据机械能守恒定律，求出M点的速度，与临界速度进行比较，判断其能否沿圆轨道到达M点；

（2）物块离开D点做平抛运动，由P点沿圆轨道切线落入圆轨道，知道了到达P点的速度方向，将P点的速度分解为水平方向和竖直方向，根据竖直方向上做自由落体运动求出竖直分速度，再根据角度关系求出水平分速度，即离开D点时的速度vD．

（3）由能量转化及守恒定律即可求出m2释放后在桌面上运动的过程中克服摩擦力做的功．

【解析】
根据物块过B点后其位移与时间的关系为x=6t﹣2t2，有：在桌面上过B点后初速v0=6m/s，加速度a=﹣4m/s2，负号代表方向与速度方向相反．

（1）设物块由D点以vD做平抛，

落到P点时其竖直速度为=

根据几何关系有：

解得vD=4m/s

由题意根据几何关系知，MD间竖直方向距离h=R

根据机械能守恒定律有：

解得

若物体能沿圆周运动至M则在M点需要满足

因为

所以m2不能运动到圆周运动最高点M；

（2）、从D点平抛运动时间为：t==0.4s

所以DP间的水平距离x=vDt=4×0.4m=1.6m．

BD间位移为：

BP间的水平距离xBP=SBD+x=2.5+1.6m=4.1m

（3）设弹簧长为AC时的弹性势能为Ep，释放m1时，Ep=μm1gxCB

释放m2时，Ep=μm2gxCB+

又m1=2m2，故Ep=m2v02=0.2×62=7.2J

设m2在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为Wf

则 Ep﹣Wf=m2vD2

可得：Wf=Ep﹣m2vD2=7.2J﹣×0.2×42J=5.6J．

答：（1）m2不能沿圆轨道到达M点；

（2）BP间的水平距离为4.1m；

（3）释放后m2运动过程中克服摩擦力做的功为5.6J．

【点评】该题涉及到多个运动过程，关键要掌握每个遵循的物理规律，如机械能守恒定律、平抛运动基本公式、圆周运动向心力公式，还要把握住物块到达最高点的临界条件：重力提供向心力，求得临界速度．