Question

如图甲所示，两平行金属板的板长l=0.20m，板间距d=6.0×10^-2m，在金属板右侧有一范围足够大的方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为MN，与金属板垂直．金属板的下极板接地，上极板的电压u随时间变化的图线如图乙所示，匀强磁场的磁感应强度B=1.0×10^-2T．现有带正电的粒子以v=5.0×10⁵m/s的速度沿两板间的中线OO′连续进入电场，经电场后射入磁场．已知带电粒子的比荷=10⁸C/kg，粒子的重力忽略不计，假设在粒子通过电场区域的极短时间内极板间的电压可以看作不变，不计粒子间的作用（计算中取）．

（1）求t=0时刻进入的粒子，经边界MN射入磁场和射出磁场时两点间的距离；
（2）求t=0.30s时刻进入的粒子，在磁场中运动的时间；
（3）试证明：在以上装置不变时，以v射入电场比荷相同的带电粒子，经边界MN射入磁场和射出磁场时两点间的距离都相等．

Answer

（1）t=0时刻，电压为0，故粒子在电场中不会发生偏转，由洛仑兹力充当向心力公式可得出粒子的偏转半径；由几何关系可得出入射点与出射点间的距离；
（2）随着电压的增大，粒子的偏转位移也增大；则能穿出电场的临界条件是粒子恰好打在板的最右端；由类平抛运动的规律可求得临界电压；由图可求得能进入磁场的粒子个数；
【解析】
（1）t=0时，u=0，带电粒子在极板间不偏转，水平射入磁场，
s=2r=1.0m
（2）带电粒子在匀强电场中水平方向的速度
v=5.0×105m/s
竖直方向的速度为
所以进入磁场时速度与初速度方向的夹角为α．如图所示：

解得α=15°
由几何关系可知，带电粒子在磁场中运动的圆弧所对的圆心角为φ，即为150°，设带电粒子在磁场中运动的时间为t，
所以  
（3）证明：设带电粒子射入磁场时的速度为v，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为
进入磁场时带电粒子速度的方向与初速度的方向的夹角为α，
由几何关系可知，带电粒子在磁场中运动的圆弧所对的圆心角为φ=π-2α，带电粒子在磁场中的圆滑所对的弦长为s，s=2rcosφ
从上式可知弦长s取决于磁感应强度、粒子的比荷及初速度，而与电场无关．
答：（1）经边界MN射入磁场和射出磁场时两点间的距离是1.0m；
（2）在磁场中运动的时间2.6×10-6s；
（3）证明略．