Question

如图所示，在xoy平面内x＞0处有一半圆形匀强磁场，磁场区域圆心为O，半径为R=0.10m，磁感应强度大小为B=0.5T，磁场方向垂直xoy平面向里．有一线状粒子源放在y轴左侧（图中未画出），不断沿平行于x轴正方向放出电荷量为q=+1.6×10^-19C、初速度为v=1.6×10⁶m/s的粒子，粒子的质量为m=1.0×10^-26kg，不考虑粒子间的相互作用，粒子重力忽略不计．求：
（1）从O点入射的粒子离开磁场区域的y轴坐标；
（2）从y轴任意位置（0，y）入射的粒子在离开磁场时的速度方向与正x轴夹角的余弦值；
（3）这些粒子在该磁场中运动的最长时间，并指出该粒子入射时的坐标．

Answer

（1）粒子在磁场中做圆周运动，根据粒子的运动轨迹和几何关系可以求得粒子设出时的位置的坐标；
（2）从任意位置进入磁场时，根据粒子的运动画出粒子的运动的轨迹，再由三角形得关系可以求得速度方向；
（3）粒子在磁场中运动的圆心角越的，粒子在磁场中运动的时间就越长，根据粒子的运动的轨迹的关系，可以求得粒子的运动最长时间的位置．
【解析】

（1）粒子在磁场中的运动满足
qvB=m
可得粒子的运动的半径为r==0.2m
当粒子从O点入射时，画出粒子的运动轨迹圆弧OP，设P点坐标为（xp，yp），则OQ=yp，
故O′Q=r-yp，
由直角三角形△O′PQ关系可得：
x+=r2
P点坐标同时满足+=R2
联立可得 yp=，
代入数据得yp=0.025m
（2）如右图，粒子从C点入射，画出其在磁场中运动的轨迹，交与磁场边界D点，并画出其运动轨迹的圆心O，
设弧CD所对圆心为θ，过D点做x轴的平行线交y轴与E点，连接OD，
则OO′=r+y
由直角三角形△O′ED得，O′E=rcosθ，DE=rsinθ
则OE=O′O-O′E=r+y-rcosθ
在直角三角形△OED内，有OE2+DE2=OD2
代入得 （r+y-rcos）2+（rsinθ）2=R2
可求得 cosθ=，
代入数据得 cosθ=，
（3）由 cosθ=，
变式得：cosθ=+，
这说明当=时，cosθ具有最小值，θ具有最大值．
代入数据得y=0.1-0.2≈-0.027
即入射点在x轴下方做标为（0，-0.027）处
此时cosθ=0.5
即θ=
由周期公式T=
得tm==π×10-7s≈2.1×10-7s．